Una red circular de absorción o fase que focaliza la luz incidente se llama placa zonal Fresnel (FZP, Imagen 1) [Fre 1866]. En el año 2008 el diámetro focal más pequeño para rayos X conseguido con este método era de 15 nm. Hay placas zonales transmisoras y reflectantes.

Placas zonales Fresnel de transmisión

Placas zonales Fresnel de reflexión Placas zonales de condensador

 

fresnel zone plate imaging

Imagen 1: Focalización de rayos X con una placa zonal Fresnel

 

De la misma forma que para la luz visible, para los rayos X hay placas zonales Fresnel absorbentes o de desplazamiento de fase. En el caso de los rayos X son comunes las placas zonales absorbentes. Se componen de una membrana transparente a los rayos X (p. ej. de Si3N4), que soportan las estructuras absorbentes (p. ej. unos micrómetros de oro) de la placa zonal. Normalmente las estructuras metálicas absorbentes son elaboradas a partir de la separación galvánica de una fotoresina estructurada por un haz de electrones o iones.

La tabla 1 muestra un pantallazo de los parámetros más importantes logrados en placas zonales Fresnel, hasta el 2009.

 

Parámetro Simbolo
Unidad Valores típicos
      placa micro-zonal placa zonal de condensador
Diámetro D mm <0,1 <10
Distancia focal f mm 0,5-1,5 <20
Número de zonas N 1 100-1000 <50000
Ancho de zona más pequeño nm 15-50 30-50
Resolución espatial (criterio de Rayleigh) nm 1,22  
Eficiencia de difracción 1 (5...30)%  

 

Tabla 1: Parámetros típicos de placas zonales Fresnel de transmisión [VDI 2009c]

 

Dado que es técnicamente complicado lograr los anillos exteriores más finos en una placa zonal, se utilizan también placas zonales compuestas (del inglés: “composite zone plate”). Éstas consisten de placa zonal interior de primer orden de difracción y de una exterior de segundo orden de difracción (Imagen 2). Debido a la difracción de segundo orden, las estructuras exteriores de la placa zonal exterior no son tan finas y son más fáciles de hacer.

Imagen 2: placa zonal compuesta con placa zonal interior y exterior, de primer y de segundo orden de difracción, respectivamente

 

Cálculo de placas zonales Fresnel

El ancho del anillo de la red circular de una placa zonal disminuye al aumentar el radio de los anillos. Los radios de los anillos se pueden calcular para luz monocromática de longitud de onda , que es emitida desde una fuente puntual Q y debe ser focalizada en un punto P a la distancia , con un número natural , la distancia de objeto g y la distancia de imagen b  [Sor 1875]. La luz debe interferir constructivamente en cada camino óptico desde la fuente a través de la placa zonal hacia el punto focal. En la Imagen 3 se muestra el camino óptico de un rayo que incide la placa zonal a una distancia del eje óptico.

Imagen 3: esquema de la diferencia de camino óptico entre la fuente Q y el punto focal P a una distancia del eje óptico.

 

Las diferencias de camino óptico son

y

 

Si la diferencia total de camino óptico es

 

 

entonces la luz que atraviese zonas consecutivas va a interferir destructivamente. Si además una zona de por medio absorbe rayos X, la luz que atraviese las zonas transparentes de una placa zonal Fresnel tendrá una diferencia de camino óptico de y tendrá interferencia constructiva en el punto P. Al reordenar esta fórmula se obtiene

 

 

al elevar al cuadrado

 

 

Tras reordenar, elevar al cuadrado y simplificar con se obtiene un radio de la zona n  de Fresnel de

 

 

Como es pequeño en comparación con b y g, se puede lograr una buena aproximación al descartar los términos de mayor orden (y con <<g+b) de

 

 

La distancia focal de una placa zonal Fresnel depende también de la longitud de onda. En el último paso se utiliza la ecuación para una distancia focal f de una lente delgada:

 

 

Al derivar el radio aproximado tras n se obtiene el espesor del anillo n

 

 

El área de cada anillo de la placa zonal es constante, debido a que tanto la longitud de onda como la distancia focal son constantes. Esto significa, que cada zona aporta la misma intensidad de luz al foco.

 

 

Las redes generalmente tienen más de un orden de difracción. Por eso una placa zonal Fresnel tiene más puntos focales (Imagen 4 izquierda). Los órdenes de difracción negativos resultan en rayos divergentes o en otras palabras: las placas zonales se comportan como lentes divergentes con puntos focales virtuales. Si se utiliza una placa zonal como lente convergente normalmente sólo se utiliza el primer orden de difracción y todos los otros son bloqueados con aperturas adecuadas (Imagen 4 derecha).

Fresnel zone plate order sorting aperture

Imagen 4: órdenes de difracción de una red circular (izquierda); con aperturas para bloquear los otros órdenes de difracción (derecha); Los rayos del primer orden de difracción están marcados en rojo, al pasar el ratón por encima de la imagen

 

Eficiencia de las placas zonales Fresnel

Las placas zonales con redes absorbentes tienen, debido a su absorción, una transmisión que es aproximadamente la mitad que la de las placas zonales con redes de fase. Además también se pierde la luz de los órdenes de difracción no utilizados. La eficiencia de difracción del orden m de difracción de una placa zonal se define como

 

 

donde la intensidad incidente es I0 y la intensidad del orden m de difracción es Im. Para m=1 se logran eficiencias de 5 hasta 30%.

Una placa zonal con red de absorción alcanza la eficiencia teórica máxima sólo si el grosor de las estructuras de absorción es suficiente para absorber casi el 100% de la luz incidente. Si se utiliza oro como material de absorción y se alcanza p. ej. un 90% de absorción, el grosor necesario de las estructuras depende de la energía del fotón y se muestra con la línea verde en la Imagen 5.

 

Imagen 5: grosor necesario del oro absorbente, para lograr absorber la mayor cantidad de luz incidente

 

 

Resolución espacial de las placas zonales Fresnel y limitaciones de fabricación

La resolución alcanzable en una placa zonal Fresnel depende, según la teoría de Abbe, de la apertura numérica NAE, ZP de la placa zonal,

 

 

del índice de refracción nmaterial (= parte real del índice de refracción n*) del medio entre el objeto y la placa zonal, del ángulo aceptable de entrada de la placa zonal y del orden de difracción utilizado m. Se acepta la aproximación de que el ángulo aceptable de entrada es normalmente pequeño y que el índice de refracción es aproximadamente 1. La mayor resolución espacial teórica para luz incoherente y monocromática, a partir del criterio de Rayleigh que obtiene la resolución de dos puntos consecutivos mediante la apertura numérica NA, se puede calcular como

 

 

Las estructuras de absorción de una placa zonal son elaboradas generalmente mediante la galvanización de oro en un sustrato previamente microestructurado. La relación de aspecto de las microestructuras está definido como la relación entre la altura de la estructura y el menor ancho de la estructura. Las mayores relaciones de aspecto para estas estructuras eran de aproximadamente 120 en 2009, mediante el LIGA-process. Esto significa, que si la transmisión de las estructuras de absorción puede llegar a un valor relativamente alto de p. ej. 50% y la relación de aspecto es de p. ej. 100, se pueden lograr placas zonales de un mínimo tamaño de foco de unos 40 nm para luz de 10 keV (Imagen 6). Para lograr menores diámetros focales o mantenerlos para mayores energías de fotón, se debe mejorar la relación de aspecto o la eficiencia disminuiría debido al aumento de transmisión de las estructuras de absorción.

 

Imagen 6: mínimo diámetro focal teórico, si se tolera un 50% de transmisión del material absorbente

 

Placas zonales reflectantes de Bragg-Fresnel

XXX

La tabla 2 muestra un pantallazo de los parámetros típicos de placas zonales de reflexión Fresnel, hasta el 2009.

 

Parámetro Símbolo
Unidad Valores típicos
      placa zonal de reflexión TER placa zonal de reflexión Bragg-Fresnel
Distancia de objeto g mm ∞-0,1 ∞-3
Distancia de imagen b mm 0,1-∞ 3-∞
Rango de la energía de fotón Efoton keV 0,01-1 1-100
Angle of incidence ΘZP rad 0,001-0.25 0,1-pi/2
Mínimo ancho de zona ΔZP nm 1000 200
Apertura numérica horizontal NAhorizontal rad 0,01-0.25 0,01-0,25
Apertura numérica vertical NAvertical rad 0,1-0,9 0,01-0,25
Diámetro focal dU µm 1-10 0,1-10
Aumento de intensidad K 1 5-100 5-1000

 

Tabla 2: parámetros típicos de placas zonales de reflexión Fresnel [VDI 2009d]

 

 

Imagen 7: Esquema de la función de una placa zonal reflectante de Bragg-Fresnel

 

Placas zonales de condensador

Ciertas placas zonales especiales son utilizadas como condensadores iluminando la muestra en microscopios de rayos X de transmisión de campo completo. En este caso se necesita un rectángulo homogéneamente y brillantemente iluminado sobre la muestra. La distancia b del condensador al plano iluminado, el tamaño del condensador y el área iluminada Dzone deben ser compatibles con la apertura numérica y el campo de visión de la óptica del microscopio. Un adecuado condenser design (by PSI) es mostrado en la Imagen 8 [Jef 2008].

Imagen 8: esquema de una placa zonal de condensador para la iluminación de un campo de visión cuadrado

 

Una placa zonal de condensador cuadrada (p. ej. 1 mm2) está compuesta de varias redes cuadradas del tamaño del campo de visión (p. ej. red de 20 x 20 , cada una de 50 x 50 µm2). Cada red individual tiene sólo líneas paralelas y una  constante de red fija. Las líneas de red se encuentran perpendiculares a la línea de unión (el largo de la línea es Lzone). del centro de la red correspondiente al centro de la placa zonal. La constante de red gzone de la red correspondiente es para una placa zonal de condensador de primer orden de difracción

 

con (imagen 9)

Al mantener estas condiciones la luz de cada uno de los campos de red será difractada en dirección hacia el campo de visión en la muestra.

 

 

Imagen 9: Ángulo en el cálculo de una placa zonal de condensador

 

 

[Fre 1866] A. J. Fresnel, "Calcul de l'intensité de la lumière au centre de l'ombre d'un ecran et d'une ouverture circulaires eclairés par un point radieux", in: Œuvres Complètes d'Augustin Fresnel, Imprimerie Impériale, Paris, 1866
[Jef 2008] K. Jefimovs, J. Vila-Comamala, M. Stampanoni, B. Kaulich, C. David, Beamshaping Condenser Lenses for Full-Field Transmission X-ray Microscopy, Journal of Synchrotron Radiation 15, p. 106-108, 2008
[Kip 2001] L. Kipp, M. Skibowski, R. L. Johnson, R. Berndt, R. Adelung, S. Harm, and R. Seemann, Sharper images by focusing soft X-rays with photon sieves, Nature, 414, 184, DOI: 10.1038/35102526, 2001
[Sor 1875] J. Soret, Über die durch Kreisgitter erzeugten Diffraktionsphänomene, Annalen der Physik und Chemie 156, p. 99-113, 1875
[VDI 2009c] VDI/VDE 5575 Blatt 5:2009-02 Röntgenoptische Systeme, Transmissionszonenplatten (X-ray optical systems; Transmission zone plates), Berlin, Beuth Verlag, 2009
[VDI 2009d] VDI/VDE 5575 Blatt 6:2009-03 Röntgenoptische Systeme, Reflexionszonenplatten (X-ray optical systems; Reflexion zone plates), Berlin, Beuth Verlag, 2009
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